在数学领域，$0.9$的循环与$1$是相等的。

为深入理解这一问题，本文将借助无穷小与极限的关系展开阐述。

函数极限的定义：对于函数$f(x)$，当$x$趋向于某数$x_0$时，若对于任意给定的正数$\varepsilon$，都能找到正数$\delta$，使得当$0\lt|x - x_0| \lt\delta$时，$|f(x)-f(x_0)| \lt\varepsilon$成立，那么$f(x_0)$即为函数$f(x)$在$x$趋近于$x_0$时的极限。

图1

在此表达式里，$f(x)=x$。

在极限定义中，当$0\lt|x - x_0| \lt\delta$时，$|f(x)-f(x_0)| \lt\varepsilon$成立。其中$\delta$和$\varepsilon$均为任意正数。而$0\lt|x - x_0| \lt\delta$表明，$|x - x_0|$的大小已无法用任何正数来衡量，因为只要$|x - x_0|$是正数，就不可能比任意正数都小。

这一表达式意味着，当$x$与$x_0$的距离小到无法用任何大于$0$的正数表示时，在数学上就认定$x = x_0$。

在上图中，假设$1$为$x_0$，$x$是$0.9$的循环（后文以$0.[9]$表示）。也就是说，当$0.[9]$趋近于$1$的过程持续不断时，$0.[9]$与$1$之间的间隔$\Delta$会小到无法用任何大于$0$的正数表示，然而这段间隔确实存在，因为$0.[9]$与$1$实际上是两个不同的数，二者永远无法完全重合。这正是极限思想中无限趋近却永不重合的含义。

实际上，在$0.[9]$中，只要$9$一直循环下去，它与$1$之间的差距是不是就无法用任何大于$0$的正数表示呢？

$0.[9]$与$0.9[8]$不同，$1$与$0.9[8]$之间的差距可用$0.0111......$表示，这是一个实实在在大于$0$的正数；而$1$与$0.[9]$之间的差距只能用$0.000......$表示，且$0.000......$并不完全等于$0$，因为只有当$0.000......$这个循环过程结束时，$0.000......$才完全等于$0$，但这个无限循环过程不可能终结，所以$0.[9]$与$1$之间的间隔$\Delta$始终大于$0$。

所以，极限思想的要点可归纳为：

1：无限趋近但永不重合。

2：两者间存在差距，然而该差距无法用任何大于$0$的数字表示。

3：此差距$\Delta$在数学上称作无穷小。

4：图1表明，$x$与$x_0$之间存在差距，但两者差距无法用任何正数表示，这种情形下就认为两者相等。

5：图1中等式左边呈现的是一个动态的趋近过程，右边则是一个数字，该数字是左边动态过程的终极目标，这个目标可无限趋近却永远无法真正达成。